Hệ Thống Quản Lý Thư Viện

Giải Trí Khoa Học
Tác giả: Trần Thế Vỹ
Ebook miễn phí tại : www.SachMoi.net

Mục lục:
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm bẫy cho những người tính toán
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm Bẫy cho những ai Đam Mê Cờ Bạc
Phần 1. Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao.
♠. Chữ tình chữ hiếu, chữ nào trọng hơn?
Có một báo treo giải cho câu đố xã hội như thế này: “Vua, cha và thầy đi cùng thuyền với ta. Đến
giữa sông, thuyền bị chìm. Người duy nhất biết bơi là ta. Ta phải cứu ai trước?”. Quả là khó khăn.
Giải thưởng được trao cho cậu bé 12 tuổi. Cậu trả lời: “Cứu người gần mình nhất.”. Nghĩ lại, thấy thật
là có lý. Cứu người gần mình nhất thì xác suất thành công cao hơn (với điều kiện khoảng cách giữa
mọi người rất nhỏ so với khoảng cách từ họ đến bờ). Và xác suất cứu xong, quay trở lại để cứu người
thứ hai cũng cao. Thế nhưng, nếu cậu bé vào tuổi 21 và có vợ, còn đề ra như thế này: “Nữ hoàng, mẹ
và vợ đi cùng thuyền với ta. Đến giữa sông, thuyền bị chìm. Người duy nhất biết bơi là ta. Ta phải cứu
ai trước?”, chắc cậu chả dại dột gì trả lời câu như vậy đâu. Còn mấy ông giám khảo mà chấm câu đấy
giải nhất cũng liệu cái thần hồn.

Thượng đế đã sinh ra Adam. Thấy chàng buồn, bèn lấy xương sườn của chàng làm
ra nàng Eva xinh đẹp. Để rồi một hôm, nàng nghe lời xui dại của con rắn (hình như
trong Kinh Thánh không nói con rắn này là đực hay cái) ăn quả cấm. Nàng quyến rũ
anh khờ Adam sa ngã theo. Họ chơi trò chơi Ái Tình. Họ mãi mê đến nỗi Thượng Đế
bực dọc và đuổi họ ra khỏi Thiên Đàng. Có phải chăng Ái Tình là thứ tình cảm đầu
tiên của giống Người chúng ta?!. Đầu Tiên và Trường Tồn nhất. Và đến một ngày xa
tít của thế kỷ 21, một anh chàng đứng trước chữ Tình và chữ Hiếu không biết chọn cái
gì, đành phải phó thác cho Thượng Đế:
Mỗi lần đi chơi, anh chàng muốn hoặc đi về nhà mẹ hoặc đi tới nhà người yêu. Mẹ và người
yêu anh ta ở hai hướng khác nhau của con đường (anh ta ở giữa). Anh ta thường phân vân không
biết về đâu. Cuối cùng, anh ta chọn được giải pháp thích hợp: hễ có xe buýt hướng nào trước, thì
đi về hướng ấy. Xe buýt của cả hai hướng cứ 15' có một chuyến. Sau một năm, anh ta tổng kết lại
thì phát hiện số lần đi về nhà người yêu lớn gấp hai lần số lần về với mẹ. Anh chàng sung sướng:

“Ái tình, Ái tình…Quả không sai người ta gọi ngươi là đề tài muôn thuở của con người. Thượng
đế thật là tâm lý. Chính Ngài đã xui khiến cho ta chọn chữ Tình nhiều hơn.”.
Khi nghe câu chuyện trên, một cô bạn của tôi đã reo lên: “Thế mà em chả biết cách chọn này. Vừa
đúng em có hai ý trung nhân ở giữa hai đầu đường. Em chả biết đi lại thế nào cho phải đạo nữa.”. Tôi
nói: “Từ từ nào…Nhưng thôi, cứ theo cách đấy. Sau ít lâu về thông báo cho tôi biết kết quả ra sao.”.
Bẵng đi một dạo, cô tiu nghỉu bảo với tôi: “Anh ạ, cái anh chàng em không ưa lắm thì em phải đi đến
gấp năm lần anh kia. Thượng Đế quả là bên trọng bên khinh.”.

Thực ra, từ khi Thượng Đế đuổi Adam và Eva xuống thế gian này thì Ngài đã phó
thác Ái Tình cho Trái Tim của Con Người rồi. Còn… giải thích hai hiện tượng trên
phải dùng xác suất mới xong. Các bạn hãy theo dõi hình sau:

Xe buýt đi về hướng mẹ bắt đầu từ lúc 6:00 sáng và cứ cách 15' có một chuyến theo lịch: 6:00,
6:15, 6:30, 6:45, 7:00…Còn xe buýt đi về hướng nhà người yêu lại có đầu tiên lúc 6:10 và cách 15'
có một chuyến theo lịch: 6:10, 6:25, 6:40, 6:55, 7:10…Theo dõi trên hình, chúng ta thấy, nếu chàng
trai đi vào những thời điểm ngẫu nhiên thì thời gian anh ta đợi được xe buýt về hướng người yêu gấp
đôi thời gian về hướng mẹ. Từ 6:00 đến 6:10 anh ta đợi chuyến đến người yêu (10'). Từ 6:10 đến
6:15 anh ta đợi chuyến đến nhà mẹ (5'). Suy ra, xác suất anh chàng về hướng người yêu phải gấp hai
lần hướng mẹ. Và điều đó đã xảy ra trên thực tế.

Còn trường hợp đối với cô gái, thời gian (ví dụ) các chuyến xe buýt cách nhau 30'.
Và chuyến về anh chàng không thích lắm là 6:25, 6:55, 7:25…, chuyến về anh chàng
thích là 6:00, 6:30, 7:00…Chuyện cô gái phải ăn quả đắng đi về hướng anh chàng
không thích lắm nhiều hơn gấp 5 lần không dính dáng gì đến Thượng Đế cả. Trừ phi,
cô nàng thuyết phục hai anh chàng đổi chỗ cho nhau mà kết quả vẫn như trên…
Thì… chứng tỏ Thượng Đế đã xui khiến cho công ty xe buýt thành phố đổi lại lịch xe
đúng khi hai anh chàng chuyển chỗ cho nhau!!![1]
♣. Thánh nhân đãi kẻ khù khờ?

Một nhà thông thái nghĩ mình đã biết hết mọi việc trên đời. Có lần, ông gặp một
bác nông dân trông thật là…nông dân. Quá tự phụ vào kiến thức của mình, ông ta

bảo bác nông dân: “Bây giờ, ông hỏi tôi một câu, nếu tôi không trả lời được thì tôi trả
ông 10 đồng. Sau đó, tôi hỏi ông một câu, ông không trả lời được, ông trả tôi 1
đồng.”. Bác nông dân “Được, tôi chấp nhận cá cược.”. “Vậy, nhường ông hỏi trước.”,
nhà thông thái trả lời. Bác nông dân nói “Tôi xin hỏi ông, con gì chạy xuống núi bằng
bốn chân, mà chạy lên núi chỉ bằng ba chân.”. Suy nghĩ mãi, nhà thông thái đành trả
lời: “Tôi không biết.”, và rút 10 đồng ra trả. Ông ta bèn hỏi: “Con gì ngộ vậy?”. Bác
nông dân rút 1 đồng trả nhà thông thái và nói: “Tôi cũng không biết.”.
Trong cuộc sống thường ngày và ngay cả trong khoa học, chúng ta chứng kiến không biết bao nhiêu
trường hợp:
“Ai đời châu chấu đá xe
Tưởng rằng chấu ngã, ai dè xe nghiêng”

như thế…
Trong cuốn Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner đã dẫn một ví dụ tuyệt diệu về
khả năng chiến thắng kẻ mạnh hơn như sau:
Smit, Brown và John quyết định đấu súng tay ba theo luật sau: đầu tiên họ sẽ bốc thăm xem ai bắn
trước, bắn nhì và bắn cuối. Mỗi người đến lượt mình chỉ bắn được một phát và có thể nhắm vào bất
kỳ người nào. Cuộc đấu súng tiếp diễn đến khi chỉ còn sống sót một người. Thoả thuận về luật và bốc
thăm xong, ba người đứng vào vị trí của mình (là đỉnh của tam giác đều). Cả ba đều biết khả năng hai
đối thủ của mình: Smit không bao giờ trượt, Brown bắn trúng đến 80% số lần bắn, còn John thì bắn
trượt cũng như bắn trúng(50/50).

Ai sẽ là người có cơ hội sống sót lớn nhất? Biết rằng cả ba đều thực hiện chiến
thuật tối ưu nhất. Và kết quả bốc thăm được sử dụng cho cả trận đấu.
Khi tôi giới thiệu bài toán này với những người bạn, tôi đã nhận rất nhiều ý kiến
giải đáp khác nhau. Có người cho Smit có khả năng sống sót nhiều hơn, có người cho
Brown thoát khỏi hiểm nguy cao nhất. Một trong số ý kiến đó có lý luận sau đáng
chú ý: việc bốc thăm sẽ cho cơ hội đồng đều cho cả ba bắn trước. Vậy xác suất của
mỗi người được bắn trước là 1/3. Ta xét xem xác suất sống sót của mỗi người:
Trường hợp 1: xác suất 1/3, Smit bắn trước. Chiến thuật tối ưu của anh ta: bắn
vào Brown. Anh ta hạ Brown, lúc đó John sẽ bắn vào chàng ta với xác suất trúng đích
là 50%. Nếu trật (cũng với xác suất 50%) thì Smit sẽ kết liễu John. Vậy với trường
hợp này xác suất của anh chàng thiện xạ được sống sót là 1/3 x 1/2 = 1/6. Xác suất
sống sót của John là 1/6 và của Brown bằng 0.
Trường hợp 2: xác suất 1/3, Brown bắn trước. Chiến thuật tối ưu của anh ta: bắn
vào Smit (xem hình 2). Nếu hạ thủ được Smit với xác suất 4/5, thì xác suất đấu trực
tiếp của anh ta với John khi John bắn trước là 4/9 đọ 5/9 (nếu Brown bắn trước sẽ là
8/9 đọ 1/9). Như thế, theo hướng này xác suất John sống sót là 1/3 x 4/5 x 5/9= 4/27,
Brown sống sót là 1/3 x 4/5 x 4/9 = 16/135. Nếu không hạ được Smit với xác suất 1/5
thì mỗi người Smit và John có xác suất ½ để bắn tiếp theo. Và theo biểu đồ, chúng ta
có thể tính toán cho trường hợp này xác suất sống sót của từng người là:

Smit: 1/60 + 1/120 =1/40
John: 1/540 +1/60 + 1/120 + 4/27=7/40
Brown: 8/540 + 16/135=2/15
(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)

Trường hợp 3: John bắn trước với xác suất 1/3. Theo hình 3 ta có thể tính được
như sau:

Smit: 1/24 + 1/120 =1/20
John: 1/24 +1/120 + 1/54 + 1/27=19/180
Brown: 4/27 + 4/135=8/45
(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)
Như thế xác suất sống sót của mỗi người là:
Smit: 1/6 +1/40 + 1/20=29/120 =0.242
John: 1/6 + 7/40 + 19/180 =161/360 =0.447
Brown: 2/15 + 8/45 = 14/45=0.311
Rõ ràng, cách tính trên đã chọn cách tối ưu cho cả ba người là: Khi còn hai đối thủ, người bắn
nhằm vào kẻ bắn giỏi hơn. Lúc đó, nếu cơ may đối thủ bị bắn chết thì người bắn vào mình sẽ là tay
amatơ hơn. Và cơ hội sống nhiều hơn. Lý luận này đã đúng chưa? Hoá ra, anh chàng thiện xạ có xác
suất sống còn thấp nhất. Nhưng các bạn hãy chú ý một điểm rất nhỏ thôi, nhưng cũng đánh gẫy toàn bộ
lý luận trên đây. Nếu xét việc bắn trước là một cơ hội tốt của người bắn để thoát hiểm, chúng ta thấy
điều này chỉ đúng với Smit. Ngược lại, không đúng cho John và Brown (cái xác suất sống sót của
Brown tăng lên vì do John chọn sai chiến thuật tối ưu). Khi John bắn trước, nếu sử dụng cách này xác
suất sống còn của anh ta là 19/180 đối với 1/6 và 7/40 khi Smit và Brown bắn trước tương ứng. Vậy
việc gì John phải bắn vào ai đó, bởi vì bất kỳ người nào bắn tiếp theo (vẫn còn ba người) thì xác suất
sống còn của John vẫn cao hơn khi anh ta nhắm vào người khác mà bắn? Chiến thuật tối ưu của John
là bắn lên trời. [2] Ngoài những con số ở trên, chúng ta thấy John sử dụng phương thức này để tận
dụng cho hai đối thủ mạnh loại trừ nhau. Quan trọng nhất, theo đúng luật khi một đối thủ của John bị
loại thì người bắn trước lại là John. Và trong bất kỳ trường hợp nào, anh ta cũng có xác suất hơn ½
sống sót. Chiến thuật tối ưu của Smit đã rõ, anh ta phải bắn vào Brown. Còn Brown cũng vậy, biết
rằng John sẽ ngư ông đắc lợi mà bắn vào John không được. Chỉ còn cách bắn vào Smit để tăng cao
xác suất sống còn mình lên. Từ những lý luận trên, chúng ta có thể thiết lập biểu đồ xác suất cho cả ba
xạ thủ như hình 4:

Xác suất cho mỗi người Brown và Smit bắn trước là ½ (Khi còn ba người John là outsider, không
tính đến vì anh ta không bắn vào ai cả). Và diễn biến tiếp theo có thể dễ nhận thấy theo hình vẽ. Xác
suất của ba người được tính như sau:
Smit: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 = 3/10
Brown: 1/2 x 4/5 x 4/9 = 8/45
John: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 + 1/2 x 4/5 x 5/9 = 47/90
Như vậy chúng ta thấy một “nghịch lý” như sau: John-người bắn kém nhất lại có cơ may sống sót
hơn cả cơ may của hai anh chàng bắn giỏi cộng lại. Có phải chăng thánh nhân đãi kẻ khù khờ hay là
điều kỳ diệu của xác suất.[3]
♥. Lời an ủi của Diêm Vương?

Ngọc Hoàng Thượng Đế thức giấc, Ngài phóng mắt khắp cõi dương gian và địa
ngục xem thần dân của mình ra sao. Đến cửa địa ngục, Ngài thấy ba linh hồn Ghost,
Ma và Quái đang xếp hàng chờ đến lượt nhập hộ khẩu. Có lẽ đêm hôm qua, Ngài
không gặp ác mộng, nên trong lòng khoan khoái muốn mở lượng từ bi. Ngài quyết
định hồi dương một trong ba linh hồn tội lỗi kia. Ngài bèn sai Nam Tào, Bắc Đẩu viết
tên ba linh hồn lên ba tờ giấy và đảo kỹ. Sau đó, Ngài bốc một tờ đưa cho Nam Tào:
-Đây là tên linh hồn được quay về dương gian. Các ngươi mau gõ dây thép xuống
cho Diêm Vương được biết!
-Dạ, tuân lệnh.
Đang yên giấc nồng, nhận được điện khẩn từ Thiên Đình, Diêm Vương vội tỉnh ngủ, sửa sang lại
cân đai áo mão cho vời ba linh hồn Ghost, Ma, Quái đến và phán rằng:
-Trong số các ngươi, có một người sẽ được quay về dương gian. Mau chuẩn bị tinh thần sẵn sàng
mà hồi dương.
-Chà…
Ba linh hồn quay ra, Diêm Vương thấy Ma còn lần chần không dứt bèn hỏi:
-Nhà ngươi còn chuyện gì không?
-Dạ, thưa Diêm Vương anh minh! Chắc Ngài không muốn chỉ ra ai trong chúng con được quay về.
Con chỉ xin Ngài ân huệ nhỏ.

-Được! Ngươi cứ nói.
-Nếu như một trong hai linh hồn kia được tha về thì Ngài nêu ra tên người ngược lại. Nếu con
được tha về thì Ngài có thể nêu bất kỳ tên một trong hai linh hồn kia.
Diêm Vương suy nghĩ một lúc, và nói:
-Thôi được, có một điều an ủi cho ngươi, đó là Quái.
Linh hồn Ma quay về, thấy khoan khoái trong lòng vì nghĩ mình đã lỡm được Diêm Vương. Bởi vì,
bây giờ chỉ còn một trong hai người Ghost và Ma được hồi dương. Vậy xác suất hồi dương của mình
là ½. Bỗng dưng khi chưa hỏi, thì xác suất hồi dương là 1/3, bây giờ lên được ½ sướng quá còn gì.
Còn Diêm Vương thì lẩm bẩm: “Đúng là ngốc tử! Hắn cứ tưởng ta cho hắn một niềm an ủi…”.
Thế thì xác suất được hồi dương của Ma là bao nhiêu?

Thực ra, xác suất của Ma vẫn bằng 1/3. Lúc ban đầu khi Ngọc Hoàng Thượng Đế
chọn tên để hồi dương một cách ngẫu nhiên như thế, nên xác suất được hồi dương
ban đầu của cả ba là 1/3. Đến lượt Diêm Vương thì nhóm ba người này được chia
thành hai nhóm nhỏ. Nhóm thứ nhất là Ma, nhóm thứ nhì gồm cả Ghost và Quái với
xác suất tương ứng là 1/3 và 2/3. Theo điều kiện của Ma, Diêm Vương chọn giữa một
trong hai người Ghost và Quái một người không được hồi dương. Xác suất Diêm
Vương chọn được bằng 1 và không ảnh hưởng gì đến xác suất từng nhóm. Và khi
Diêm Vương lộ tẩy bất kỳ một người nào trong nhóm hai thì xác suất nhóm hai và
nhóm một không thay đổi. Có nghĩa xác suất của Ma vẫn bằng 1/3 còn xác suất của
Ghost được tăng lên thành 2/3 bởi vì xác suất của Quái đã bằng 0.
Để dễ hiểu ta(người chia bài) chọn ba con bài Át Cơ, Át Rô và Át Bích chia cho ba người A, B,
C. Xác suất của mỗi người nhận được Át Bích khi chia xong (hay khi chưa lật con nào cả nhưng mỗi
con bài đã an vị cho mỗi người) là 1/3. Bây giờ, ta chia ra hai nhóm: nhóm có mỗi A và nhóm có con
bài của hai người B, C. Rõ ràng nhóm của hai người B, C có xác suất có con Át Bích bằng 2/3. Nhìn
hai lá bài của B, C và chọn ra lá khác Át Bích lật ra (xác suất bằng 1). Điều này hoàn toàn không làm
ảnh hưởng đến xác suất của hai nhóm. Duy chỉ có điều, nhóm hai bây giờ chỉ còn một người và xác
suất của anh ta tăng gấp đôi bằng 2/3. Trong khi đó nhóm 1 xác suất của A không đổi bằng 1/3.[4]
Ta lại tự đặt cho mình hai tình huống nữa:

-Sau khi chia bài ta rút một con bài nào đó và lật ra. Nếu con bài đó không phải
Át Bích thì xác suất của hai người còn lại bằng bao nhiêu? Trường hợp này, ta hoàn
toàn không chọn gì cả và xác suất con bài bị lật là Át Bích vẫn bằng 1/3. Lúc này, ba
con bài vẫn nằm trong một nhóm tính xác suất đồng nhất và bằng 1. Khi lật lá bài kia
ra và phát hiện không phải Át Bích, xác suất của nhóm vẫn bằng 1, nhưng vì hai phần
bài còn lại hoàn toàn tương đương nhau trong nhóm nên xác suất của chúng trở thành
½.
-Sau khi chia bài, ta lại cầm lấy cả ba và lật một con bài không phải Át Bích ra. Lý
luận tương tự trên ta cũng sẽ thấy xác suất của mỗi tay bài còn lại là Át bích bằng ½.
Hai trường hợp này có xác suất giống nhau và lý luận cũng giống nhau, vậy tại sao
phải chia thành hai trường hợp??? Trường hợp nhất, ta cùng ba người chơi phó mặc
cho số phận khi lật con bài kia ra. Cái reo vui của hai anh chàng còn lại vì được tăng

xác suất đổi bằng cái sầu thảm của anh thứ ba. Và anh thứ ba không trách ta không
kéo dài thời gian vui thêm một lúc. Việc ban phát buồn vui là của Thượng Đế. Trường
hợp hai, chính ta chọn và ta lại ban cho hai anh này một niềm vui ngắn ngủi còn anh
thứ ba một nỗi buồn. (nếu như có con Át Bích sẽ được 1000$ chẳng hạn). Việc ban
phát buồn vui là việc của ta.[5]
[1]. Cũng không cần thiết hai đầu đường. Nếu như một bến xe buýt có các số 01 chạy về nhà mẹ,
02 chạy về nhà cô giáo, 03 chạy về Nữ Hoàng và 04 chạy đến với người yêu, ta vẫn thiết lập được
lịch trình và tính xác suất cụ thể cho từng trường hợp.
[2]. Có người nói, nếu lý luận trên thì ai cũng chờ cho hai đối thủ của mình sát hại lẫn nhau, rồi
đến lượt mình bắn chết người còn lại. Điều này đúng nhưng không dành cho Smit vì anh ta là người
bắn trăm phát trăm trúng và đây là cuộc đấu súng nên anh ta không thể nhắm vào cột điện mà bắn
được. Anh ta phải hạ sát người nào đó khi đến lượt. Và dẫn tới Brown cũng phải bắn vào Smit nếu có
lượt trước Smit.
[3]. Những lý luận trên có thể sẽ không đúng với trường hợp 4 hay nhiều hơn người. Chẳng hạn có
cuộc đấu súng tay tứ và thêm anh chàng Holmes nào đấy với xác suất bắn trúng là 40%...thì xác suất
sống sót mỗi người hoàn toàn khó tính. Vấn đề rất quan trọng là khi đấy, ta gặp một vòng lẩn quẩn.
Tìm chiến thuật tối ưu xong tính xác suất. Nhưng khi tính toán xong ta mới nhận ra chiến thuật tối ưu
như thế nào. Vì lẽ này, người giải cần tính toán tất cả các khả năng xảy ra và vạch ra chiến thuật tối ưu
cho từng người. Một việc làm không dễ dàng. Mời quý vị độc giả thử xem.
[4]. Ta có thể làm cho rõ hơn nữa qua ví dụ sau: Giả sử bốc được lá bài Át Bích sẽ được thưởng
1000$. Có một bộ bài Tây 52 lá, người A rút một lá vậy xác suất anh ta nhận được Át Bích bằng 1/52.
A chưa lật bài ra, ta chọn trong 51 lá còn lại 50 lá không phải Át Bích lật ra. Vậy, xác suất của A có
lá bài Át Bích là ½ chăng?! Hiển nhiên không đúng. 51 lá còn lại có xác suất là 51/52. Và vì lúc nào
ta có thể tìm 50 lá trong 51 khác Át Bích nên chuyện lật hay không lật ra không ảnh hưởng đến xác
suất hai nhóm. Ví thế A vẫn có xác suất 1/52 còn lá bài còn lại có xác suất là 51/52.
[5]. Tất cả những trường hợp trên đều là những bài toán Đại số của xác suất mà thôi. Có lần, một
anh bạn trẻ hỏi tôi: Có một bộ bài 52 lá, anh bốc một lá và chưa xem. Xong tôi bốc một lá, hỏi xác
suất lá của tôi là Át Bích bằng bao nhiêu? Anh bạn lý luận: Nếu lá bài của anh là Át Bích thì xác suất
của tôi có Át Bích bằng 0. Nếu lá bài của anh không phải là Át Bích thì xác suất lá bài của tôi là Át
Bích bằng 1/51. Vậy tại sao xác suất lá bài của tôi là Át Bích bằng 1/52? Thực ra, khi nói đến việc
bốc lá bài ra người ta nghĩ đến việc trừ những lá bốc rồi (kể cả khi chưa nhìn). Nếu ta xét một bàn
quay có 52 ô, tôi đánh dấu một ô cho tôi còn anh bạn kia đánh dấu một ô cho anh ta và quay. Vậy xác
suất kim vào đúng ô của tôi hay của anh bạn đều bằng 1/52. Ngoài ra, bản chất xác suất là bình quân
các khả năng, ví dụ như trường hợp đấu súng tay ba người ta thấy John bắn trúng cũng như bắn trật.
Khi thấy John bắn trúng 3 phát liền, như vậy mấy phát tiếp theo John phải bắn trật. Lý luận này không
đúng theo tinh thần xác suất. Xác suất được tính trong một quá trình các trường hợp xảy ra khá nhiều
và nó mang ý nghĩa bình quân. Chính vì thế, trở lại câu hỏi anh bạn trẻ, tôi đã trả lời anh ta: có mấy
trường hợp tôi bốc con Át Bích-có một với xác suất bạn bốc Át Bích bằng 0. Vậy có mấy trường hợp
tôi không bốc được con Át Bích- 51 với xác suất bạn bốc được Át Bích là 1/51. Khi ta chưa biết lá
bài của tôi, muốn tính xác suất của bạn, ta phải tính bình quân tất cả các khả năng: (51 x 1/51 + 1 x
0)/52= 1/52.

Phần hai: Cạm bẫy cho những người tính toán
Trong phần một, chúng ta đã thấy nhiều khi, thay vì giải thích bằng phép thuật của
các Đấng Tối Cao, nếu chịu khó một chút, ta có thể giải thích bằng Xác Suất. Nhưng
liệu cái Xác Suất đó có phải Đấng Tối Cao không thì lại là chuyện khác. Có những
thứ cứ ngẫm nghĩ thấy chỉ có Thượng Đế mới làm được thôi, nhưng cuối cùng cũng
có thể giải thích bằng Xác Suất. Ví dụ, quỹ đạo của điện tử (electron) trong nguyên
tử- các bạn thử tưởng tượng một anh chàng láo nháo, động đậy liên tục thế mà cũng
chuyển động theo quỹ đạo. Khó tin quá!!! Các bạn đừng vội cho đó là quỹ đạo.
Những hình vẽ được biểu diễn cho quỹ đạo của electron chẳng qua vùng biểu thị xác
suất tìm thấy electron lớn nhất.
Phái nào ngoại tình nhiều hơn?
Ở Việt Nam ta, những đức tính cao quý như Công, Dung, Ngôn, Hạnh vẫn được
phụ nữ chúng ta gìn giữ một cách trân trọng. Thời buổi kinh tế thị trường, nhịp sống
dường như nhanh hơn, hối hả hơn. Hậu quả của nó là người ta cảm thấy có nhu cầu
sống gấp hơn, thực dụng hơn kể cả những liễu yếu đào tơ. Theo thống kê, số lượng
các cặp vợ chồng ly hôn ở Mỹ là 54%, ở Nga 56%(cao nhất) mà nguyên nhân phần
lớn là do bạo hành gia đình và ngoại tình. Thế nhưng, có những thống kê nhiều khi
lại dẫn dắt chúng ta đến kết luận sai lầm trầm trọng:
Theo thống kê cho thấy phần châu Âu của nước Nga (chỉ là ví dụ thôi), xác suất tìm người
đàn ông ngoại tình lớn hơn người đàn bà ngoại tình với tỷ lệ 75 và 65% tương ứng, còn ở phần
châu Á cũng vậy nhưng vì ảnh hưởng văn hoá Á Đông nên cũng ít đi chút đỉnh 30 và 20%
tương ứng. Thế ở nước Nga, đàn ông nói chung ngoại tình hơn đàn bà chăng?
Tôi cam chắc với các bạn, không 100% thì 99,99% số người được hỏi sẽ bảo “hiển nhiên là
vậy.”. Các bậc mày râu thì thở dài ngao ngán: “Mấy vị làm thống kê này chắc toàn phụ nữ hay sao
ấy.”. Còn các bà thì chì chiết “Đấy nhé, còn chối không?. Con số thống kê rành rành nhé.”.

Ấy, đừng vội hoảng quí ông, và cũng đừng vội đe nghiến quí bà. Kể cả những con
số chênh lệch khủng khiếp thế cũng không chứng tỏ ở nước Nga nói chung, người
đàn ông ngoại tình hơn phụ nữ. Chỉ có điều, tất cả người được hỏi đã để cho những
con số đánh lừa cảm giác của mình. Và chúng ta đã suy đoán vấn đề không như nó
thế mà như nó có vẻ thế. Hay là, chúng ta đánh giá vấn đề theo cảm giác và phỏng
đoán. Chúng ta thử tính toán một tý xem sao:
Đặt a1 là số đấng mày râu phần châu Á nước Nga, a2 là số quí ông ở phần châu Á
ngoại tình. Và b1, b2 là số phái đẹp châu Á tương ứng.
Tương tự cho phần châu Âu nước Nga là c1, c2 (quí ông) và d1, d2 (quí bà) tương ứng.

a2/a1 = x%

b2/b1 = y%
x>y

c2/c1 = z%
d2/d1 = t%
z>t
Liệu chúng ta có thể khẳng định:
(a2 + c2)/(a1 + c1) > (b2 + d2)/(b1 + d1)

Đây là bài đại số sơ đẳng và các bạn có thể tìm ra vô số thí dụ để khẳng định điều
ngược lại. Ngay cả đối với những thông số x=0.75, y=0.65, z=0.3, t=0.2 như đề bài. Ta
lấy những con số sau:
a1 = 24.000.000, a2 = 7.200.000
b1 = 9.800.000, b2 = 1.960.000
c1 = 8.000.000, c2 = 6.000.000
d1 = 14.000.000 d2 = 9.100.000

Như vậy, tổng số quí ông và quí bà là 32.000.000, 23.800.000 tương ứng. Và số các
gentlemen và ladies phạm lời thề hôn nhân sẽ là 13.200.000, 11.060.000. Xác suất tìm
thấy người đàn ông ngoại tình ở nước Nga là 41,25% và người phụ nữ ngoại tình lại là
46,47%!!!
Hay chúng ta muốn tạo nên khung cảnh đầy kịch tính hơn:
Xác suất tìm người đàn ông ngoại tình ở hai phần Á, Âu của nước Nga đều lớn hơn xác
suất tìm thấy người phụ nữ ngoại tình là 10%. Liệu xác suất tìm thấy người đàn ông ngoại tình
của toàn nước Nga có lớn hơn tìm thấy người phụ nữ ngoại tình. Hoàn toàn không chắc!!!
Thậm chí, ngược lại có những thông số cho thấy những người phụ nữ vẫn ngoại tình hơn đàn
ông như thường. Mà cũng lại hơn đến 10%!
Ta vẫn lấy x, y, z, t như trên và các thông số sau:
a1 = 28.000.000, a2 = 8.400.000
b1 = 9.000.000, b2 = 1.800.000
c1 = 8.000.000, c2 = 6.000.000
d1 = 18.000.000 d2 = 11.700.000
Xác suất tìm thấy người đàn ông ngoại tình ở nước Nga là 40% và người phụ nữ ngoại tình lại là
50%!!!
Trên đây, chúng tôi lấy ví dụ cho quí độc giả thấy có những thông số đánh lừa cảm giác chúng ta
dẫn đến những kết luận sai lầm tai hại. Khi nói đến danh từ xác suất làm cho người ta dễ đơn giản
hoá các thông số thành thông số duy nhất P(A) và P(B). Và lầm tưởng mình có thể cộng, trừ, so sánh
chúng với nhau. Cũng không ít người trong các bạn cho rằng, những con số trên làm sao đánh lừa
được người tính toán chuyên nghiệp. Đúng là như vậy, nhưng có những bài toán xác suất khi đọc điều
kiện bài toán cứ ngỡ như tìm ra cách giải đúng nhất. Nhưng sau đấy sẽ có người khác chỉ cho chúng ta
cách lý luận khác, cũng hợp lý không kém, đưa đến một đáp số khác Xin các bạn đọc đoạn trích dưới
đây trong cuốn Mathematical puzzles and diversions của Martin Gardner:

“Charles Sanders Pears có nói, chưa có một lãnh vực toán học nào mà người

chuyên gia sai lầm dễ dãi như lý thuyết xác suất. Lịch sử đã khẳng định điều này.
Ngay cả G. W. Leibniz cũng từng cho rằng khi tung hai con xúc xắc lên thì số lần
nhận được 12(tổng số hai con xúc xắc cộng lại) cũng bằng số lần xuất hiện 11.
…….
Thời này, lý thuyết xác suất cho những câu trả lời chính xác và rõ ràng với một yêu cầu: trong
điều kiện bài toán phải xác định rõ ràng bằng phương pháp nào ta thử sự kiện ngẫu nhiên.”
Và một thí dụ cổ điển nhất minh chứng cho tính không nhất quán của bài toán xác suất là bài toán
sau:

Hình tam giác có dễ tạo không?
Tại sao không dễ nhỉ?!. Chấm ba chấm trên tờ giấy trắng. Nối ba điểm lại theo từng cặp ta được
một tam giác (xác suất bạn chọn ba điểm trên một đường thẳng hầu như bằng không). Chúng tôi không
nói đến cách này, bạn thử làm thí nghiệm như dưới đây:

Bẻ một que (bằng gỗ) thành ba phần một cách ngẫu nhiên. Ba phần nhận được
bạn thử tạo thành tam giác. Và tìm xác suất ba phần đó tạo thành hình tam giác.

Chúng ta cho rằng hai điểm cắt thanh gỗ được chọn rất
ngẫu nhiên và nằm bất kỳ ở đâu trên thanh gỗ và độ dài thanh gỗ là 1 đơn vị. Vậy, các
thanh OA, OB, OC có độ dài ngẫu nhiên trong khoảng [0,1]. Ta dựng hình tam giác
đều có đường cao bằng 1. Chắc ai trong chúng ta đều chứng minh được “Cho điểm O
trong tam giác đều. Tổng ba đoạn vuông góc từ O xuống ba cạnh tam giác bằng
đường cao của tam giác.”. Vậy, bất kỳ ta bẻ như thế nào ta cũng dựng được điểm O
trong tam giác lớn. Và bất kỳ điểm O ở đâu trong tam giác lớn ta cũng tìm được một
cách bẻ (hay là hay chỗ bẻ) trên que gỗ. Điều này có nghĩa các điểm O ứng với các
càch bẻ khác nhau lấp đầy tam giác lớn. Nhưng chỉ có phần trong tam giác nhỏ màu
xanh là cho phép chúng ta dựng được hình tam giác (một cạnh không lớn hơn hai
cạnh còn lại). Suy ra, xác suất bằng ¼.
Thế nhưng, trên thực tế khi nói đến động từ bẻ hai lần, ta có thể nghĩ như sau:

Đầu tiên, ta bẻ ngẫu nhiên que gỗ thành hai phần. Sau đó, chọn một đoạn trong

hai phần đó bẻ ra thành hai phần nữa. Tìm xác suất để ba phần này tạo thành hình
tam giác.
Có một ý kiến thế này: Lấy đoạn OA là đoạn nhỏ khi chia lần đầu tiên. Vậy O phải nằm trong ba
phần dưới của tam giác to. Còn đoạn lớn bẻ ra hai phần (xác suất chọn được phần lớn để bẻ tiếp là
½). Như vậy, xác suất điểm O vào phần màu xanh là 1/3. Như vậy xác suất đề ra là 1/3 x ½ =1/6.

Trên thực tế, cách tính trên hoàn toàn sai (theo sách đã
dẫn, cách chứng minh này của một chuyên gia tên là Witvort đưa ra). Với hình vẽ
trên, ta thấy các tam giác bằng nhau. Nhưng khi tính xác suất thì các tam giác trên
hoàn toàn không bằng nhau tý nào cả!!! Khác với trường hợp một, các điểm đều
được biểu thị cho một trạng thái bẻ của que và tất cả các điểm này có giá trị như nhau
khi tính xác suất. Và “tổng tất cả trường hợp” để xét xác suất cho tất cả điểm O là tam
giác lớn không thay đổi. Còn trường hợp hai, “tổng tất cả trường hợp” là đoạn MN
thay đổi theo độ dài x của đoạn OA. X càng lớn thì MN càng nhỏ và trọng lượng từng
trường hợp xảy ra trên MN càng lớn. Nói cách khác, các điểm O hoàn toàn không
bình đẳng với nhau. Chúng đi kèm với xác suất xảy ra trên MN. [1] Vậy O càng lên
trên thì giá trị để tính xác suất của nó càng lớn. Mà theo hình vẽ, càng lên trên đoạn
màu xanh càng lớn, ngược lại đoạn màu đỏ càng nhỏ đi. Có nghĩa, trong tam giác
màu xanh, trọng lượng xét xác suất tăng dần từ đỉnh đến đáy, còn tam giác màu đỏ lại
giảm dần. Hai tam giác vì thế không thể nào bằng nhau về giá trị tính xác suất. Muốn
tính xác suất của trường hợp hai, ta phải nhờ đến tích phân.
Với một x nào đó, xác suất điểm O nằm trong phần màu xanh là x/(1-x). Ta lấy trung bình của tất
cả xác suất này theo x biến thiên từ 0 đến ½. Giá trị đó bằng:

Và phải tính thêm xác suất chọn được đoạn lớn để bẻ bằng ½ nữa, ta được kết quả 0,193 lớn hơn
1/6.

Xác suất ¼ như cách tính 1 có được (lớn hơn 0,193) vì ta tính xác suất bẻ lần thứ
hai đúng vào phần lớn hơn không phải là ½ mà lớn hơn. Nó tỷ lệ thuận với độ dài của

đoạn lớn. Và nếu ta đặt bài toán như sau:
Đặt que gỗ vào máy chặt, chỉnh máy chặt sao cho khoảng di động của dao chạy theo đúng
chiều dài của thanh gỗ. Mỗi lần chặt, máy chặt tự chọn ngẫu nhiên điểm chặt trong khoảng đó.
Chặt hai lần được ba phần. Tìm xác suất sao cho ba phần đó lập được tam giác.
Vâng, thưa các bạn nếu bài toán như vậy thì xác suất chính xác bằng ¼.
Bài toán này đã gây khá nhiều tranh luận trong bạn bè chúng tôi. Khi chúngtôi giải thích tất cả
những khúc mắc của nó, mọi người đều đồng ý như tôi đã viết trên. Thế nhưng, chúng tôi nhận được
một lời giải thích khá hay của một anh bạn trẻ-và chúng tôi nghĩ đó là lời giải thích chu đáo, cặn kẽ:
“Anh Vỹ thân mến!

Khi dùng động từ bẻ thì chắc chúng ta tuyệt đối không thể dùng phương pháp
một để giải, vì nó không toát lên ý nghĩa của từ bẻ. Cách một phù hợp hoàn toàn với
bài toán máy chặt như anh đã giải thích. Thế nhưng, ngay cả cách hai tuy đúng
nhưng không logic trên thực tế. Khi ta nói bẻ có nghĩa là chia cái gì đấy bằng tay ra
hai phần. Nếu chia que gỗ ra chỉ hai phần thôi thì mọi việc đơn giản quá. Nhưng ở
đây là chia ra ba phần, như vậy ta phải bẻ hai lần. Mà đã bẻ làm hai hay lớn hơn
lần thì phải có trạng từ bổ ngữ thêm nữa: đó là bẻ các lần cách quãng hay bẻ liên
tiếp. Cách giải hai phù hợp với bẻ hai lần cách quãng. Đúng hơn là: yêu cầu một
người bẻ que gỗ. Sau đấy, ta cầm cả hai phần và chìa hai đầu (đã chỉnh cho bằng
đầu để người kia không biết đâu là que dài) cho anh ta chọn. Chọn xong, anh ta bẻ
đoạn đã chọn ra thành hai phần. Tìm xác suất sao cho ba đoạn nhận được có thể
tạo thành tam giác. Như vậy, cách này có toát lên ý nghĩa của từ “bẻ” không?
Hay, người bẻ (trung thực trong cách bẻ ngẫu nhiên) chọn lựa cách bẻ hợp lý
trên thực tế hơn. Anh ta bẻ ngẫu nhiên lần một trên que gỗ. Sau đó, tuỳ sở thích của
từng người, anh ta thả rơi đoạn bên trái xuống (tay trái thả ra) trong khi tay phải
vẫn nắm giữ đầu bên phải của que gỗ. Và tiếp tục bẻ tiếp phần còn lại trong tay
phải ra hai phần một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất sao cho ba đoạn tạo thành tam
giác.
Rõ ràng, cách bẻ này liên tiếp không dứt quãng và tiết kiệm thời gian cho người
bẻ. Đồng thời, cách bẻ này toát lên ý nghĩa từ “bẻ” chân thật nhất. Xác suất tính
được cũng bằng 0,193. Nhưng cách giải thích xác suất chọn thanh dài để bẻ bằng ½
hoàn toàn khác. Vì anh ta bẻ liên tiếp như thế, nên chỉ khi điểm bẻ của lần đầu anh
ta chọn nằm trên nửa trái của que, thì phần bẻ tiếp theo mới là đoạn dài hơn được.
Suy ra xác suất bằng ½.[2]
Thật là sai lầm khi nói đến tính không nhất quán của bài toán xác suất mà không đề cập đến
bài toán Bertran (nhà toán học người Pháp Josep Bertran ), còn gọi là nghịch lý Bertran.

Nghịch lý Bertran:
Dựng một cách ngẫu nhiên một đoạn thẳng (có hai điểm trên một vòng tròn cho

trước). Tìm xác suất sao cho dây cung này lớn hơn độ dài của cạnh tam giác đều
nội tiếp trong vòng tròn đó.
Để trả lời cho câu hỏi này, có rất nhiều lời giải. Dưới đây là ba lời giải cổ điển của
nó:
Lời giải 1: Dây cung phải được bắt đầu từ một điểm nào đó trên vòng tròn. Ví dụ,
điểm đó là điểm A như trên hình 7:

Tất cả các đường thẳng từ A quét ...